高一函数的所有知识点

高一函数知识点总结

一、函数的定义与性质

1. 函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2. 构成函数的三要素：定义域、值域和对应关系。
3. 表示方法：列表法、解析式法和图像法。
4. 分段函数：在定义域的不同区间上，用不同的解析式来表示的函数。
5. 映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，使集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应关系f）叫做从集合A到集合B的映射。

二、函数的运算

1. 函数的加法、减法、乘法和除法：设f(x)、g(x)是定义在同一区间上的两个函数，则它们的和、差、积、商分别为F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)-g(x)，H(x)=f(x)·g(x)（g(x)≠0），Φ(x)=f(x)/g(x)（g(x)≠0）。
2. 复合函数：若y=f(u)，u=g(x)，且g(x)的值域存在非空子集能包含在f(u)的定义域内，则把y=f[g(x)]称为f与g的复合函数，其中u为中间变量。

三、函数的单调性

1. 单调性的定义：如果对任意x₁, x₂ ∈ I ，当x₁ < x₂时，总有f(x₁) ≤ f(x₂)（或f(x₁) ≥ f(x₂)），则称函数f(x)在区间I上是增函数（或减函数）。特别地，如果对于区间I上任意两点x₁, x₂都有f(x₁) < f(x₂)（或f(x₁) > f(x₂)），则称函数f(x)在区间I上是严格增函数（或严格减函数）。
2. 单调性的判定方法：定义法、导数法等。

四、函数的奇偶性

1. 奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），那么就说f(x)是奇函数（或偶函数）。
2. 奇偶性的性质：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；奇函数在对称区间上的和为0等。

五、幂函数、指数函数和对数函数

1. 幂函数：形如y=x^a（a为实数）的函数称为幂函数。其图像和性质随a的变化而变化。
2. 指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。其图像恒过点(0,1)，且在x轴上方单调递增（当a>1时）或单调递减（当0<a<1时）。
3. 对数函数：如果ax = N（a > 0，且a ≠ 1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = logaN，读作以a为底N的对数是x。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。其图像恒过点(1,0)，且在y轴右侧单调递增（当a>1时）或单调递减（当0<a<1时）。

六、反函数

1. 反函数的定义：设函数y=f(x)（x∈A）的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样构成的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)的反函数，记作y=f⁻¹(x)。 反函数y=f ⁻¹(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
2. 求反函数的步骤：互换原函数中的自变量x和因变量y的位置；解出y关于x的表达式；写出反函数的定义域（即原函数的值域）。